Пусть  – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Заметим, что .
Пусть  – высота (а значит и медиана) основания. ТогдаТак как медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то
Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а  – проекция  на плоскость основания, то .
Из прямоугольного :Так как еще , то можно найти :Также из прямоугольного :
Следовательно, объем пирамиды равен