Пусть  и  — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть  и  пересекаются в точке  Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то   


 
 как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку.  как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

Так как меньшая окружность вписана в угол  то её центр  лежит на биссектрисе угла  поэтому  — биссектриса угла  точки   лежат на одной прямой 
Так как большая окружность вписана в угол  то её центр  лежит на биссектрисе угла  поэтому  — биссектриса угла  точки   лежат на одной прямой 
Таким образом, так как  и  — один и тот же угол, то точки    лежат на одной прямой 
Пусть  — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка  лежит на прямой 

Пусть  — точка пересечения  и   — точка пересечения  и 
Треугольник  равнобедренный и  — его биссектриса, следовательно,  Треугольник  равнобедренный и  — его биссектриса, следовательно,  Значит,  Таким образом, в задаче требуется найти 
Так как   то  Проведём  тогда  — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника 
Рассмотрим прямоугольный треугольник  В нём

Треугольник  подобен треугольнику  по двум углам, так как   — общий. Тогда

Треугольник  подобен треугольнику  по двум углам, так как   — общий. Тогда  как соответственные.
 как соответственные углы при  и секущей   как соответственные углы при  и секущей  Тогда

 как соответственные углы при  и секущей   как соответственные углы при  и секущей  Тогда

Тогда треугольник  подобен треугольнику  по двум углам. Следовательно, 
Так как  — высота в равнобедренном треугольнике  опущенная на основание, то  — биссектриса,

Так как  — высота в равнобедренном треугольнике  опущенная на основание, то  — биссектриса,

Поэтому

Треугольник  подобен треугольнику  по двум углам, так как   Тогда

Тогда


Ответ: 15