Окружности и многоугольники
| 25.04.2025, 00:25 | |
В параллелограмме | |
|
| |
| Просмотров: 3 | | |
проведена диагональ 
Точка 
является центром окружности, вписанной в треугольник 
Расстояния от точки 
до точки 
и прямых 
и 
соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма 
| Всего комментариев: 2 | |
0
Пусть окружность касается сторон
  и  в точках   и  соответственно. Пусть   Тогда  — расстояние от точки  до прямой  По условию    Проведём  Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то  Тогда  — расстояние от точки  до прямой  Следовательно,  по условию. Значит, радиус окружности равен 5. Проведём  Тогда  как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то  Тогда    следовательно, точки    лежат на одной прямой и  — высота параллелограмма. Тогда  Рассмотрим прямоугольный треугольник  По теореме Пифагора  значит, 
0
Пусть
  Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то  Тогда  Посчитаем площадь треугольника  двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,  где  — полупериметр треугольника   — радиус его вписанной окружности,  — его высота, проведённая к стороне  Найдём полупериметр треугольника   Высота в треугольнике  — расстояние от точки  до прямой  Тогда  как расстояние между параллельными прямыми  и  Значит,   а  поэтому  Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому  Ответ: 420 | |
