Пусть  — трапеция с основаниями  и  где  Так как трапеция  равнобедренная, то  Пусть 


 
Трапеция  описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

По условию периметр трапеции равен 200, то есть

Тогда

Пусть  Тогда

Опустим высоты  и  Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как  и  то 
Рассмотрим четырёхугольник  В нём  и  как основания трапеции, следовательно,  Тогда  — параллелограмм и  по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники  и  В них   как углы при основании равнобедренной трапеции,  Тогда прямоугольные треугольники  и  равны по острому углу и гипотенузе.  как соответственные элементы. В треугольнике  по теореме Пифагора

Тогда

Следовательно, 

Значит,

Так как  то

Найдём 

Проведём высоту  трапеции  проходящую через точку    Так как  — высота трапеции, то

Рассмотрим треугольники  и  В них  как накрест лежащие углы при параллельных прямых  и  и секущей  а  как вертикальные.
Тогда  по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

Пусть  Тогда 

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина  то есть 8.

Ответ: 8