Решение. Проверим каждое из утверждений.
1)  «Через любые три точки проходит не более одной окружности.»  — верно, Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Если точки лежат на одной прямой, то окружность провести невозможно. Тем самым, через любые три точки можно провести не более одной окружности.
2)  «Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности имеют 2 общие точки.»  — неверно, если расстояние между центрами меньше суммы их радиусов, но больше модуля разности радиусов, то окружности имеют две общие точки, если расстояние между центрами равно сумме радиусов, то окружности имеют одну общую точку, если расстояние больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек.
3)  «Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются»  — неверно, окружность, радиус которой равен 3, лежит внутри окружности с радиусом 5.
4)  «Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 160°»  — неверно, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, поэтому вписанный угол равен 40°.
 
Ответ: 1.