Решение. Проверим каждое из утверждений.
1)  «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.»  — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.
2)  «В любой треугольник можно вписать более одной окружности.»  — неверно, в любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
3)  «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.»  — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.
4)  «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.»  — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.
 
Ответ: 1.