Решение. 1)  «Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны»  — верно. Таким прямоугольником является квадрат.
2)  «Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая касается окружности»  — верно. Это условие касания окружности и прямой.
3)  «В тупоугольном треугольнике внешний угол, смежный острому углу, меньше тупого угла данного треугольника»  — неверно. По теореме о внешнем угле треугольника он равен сумме двух углов, не смежных с ним, а потому больше любого из них.
 
Ответ: 12.