Решить задачу
| 24.04.2025, 19:36 | |
Дан тетраэдр a) Докажите, что б) Найдите расстояние от точки | |
|
| |
| Просмотров: 14 | | |
На ребре 
выбрана точка 
так, что 
Также на ребрах 
и 
выбраны точки 
и 
соответственно так, что 
— квадрат со стороной 2.
до плоскости 
если известно, что объем тетраэдра 
равен 25.| Всего комментариев: 2 | |
0
а) Так как
 — квадрат, то     Докажем, что  Аналогично будет доказываться, что  Рассмотрим плоскости   и  Их линии пересечения   и  либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной точке. Так как две из трех линий  и  друг другу параллельны, то и третья линия  им параллельна. Следовательно,  Значит и  Так как  — квадрат, то  Следовательно,  Что и требовалось доказать. 
0
б) Докажем мини-задачу: если
 и  — противоположные ребра тетраэдра,  — расстояние между ними,  — угол между ними, то объем этого тетраэдра равен  Рассмотрим призму  в основании которой лежит четырехугольник  диагонали которого соответственно равны и параллельны двум противоположным ребрам данного тетраэдра:    Тогда расстояние между основаниями призмы равно  Значит, объем этой призмы   Распишем, чему равен объем данного тетраэдра   Ответ:
Заметим, что так как  то расстояние от любой точки прямой  до этой плоскости будет одинаковым. Проведем  Тогда  Проведем  Пусть  Тогда  так как  и  Следовательно,  — искомое расстояние. Из  следует, что  Следовательно,  Аналогично  откуда  Из доказанной формулы следует, что объем тетраэдра  равен  Так как по теореме Фалеса  то  Тогда  | |
