|
Дана треугольная пирамида а) Докажите, что треугольник б) Найдите объем пирамиды |
, причем высота пирамиды, опущенная из точки 
, падает в точку 
. Известно, что 
перпендикулярно 
.
прямоугольный.
, если известно, что 
, 
, 
.|
Дан куб |
, длина диагонали которого равна 
. На луче 
отмечена точка 
так, что 
.
– правильный тетраэдр.
.|
В основании пирамиды а) Докажите, что плоскость б) Плоскость |
лежит прямоугольник 
со стороной 
и диагональю 
Все боковые ребра пирамиды равны 5. На диагонали 
основания 
отмечена точка 
а на ребре 
— точка 
так, что 
параллельна ребру 
пересекает ребро 
в точке 
Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
|
Основанием прямой четырехугольной призмы a) Докажите, что прямые б) Найдите объем призмы, если |
является ромб 
при этом 
и 
перпендикулярны.
|
На рёбрах a) Докажите, что точки б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость |
и 
треугольной пирамиды 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Точки 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно.
и 
лежат в одной плоскости.
разбивает пирамиду.|
Ребро куба а) Докажите, что б) Найдите объём |
равно 6. Точки 
и 
— центры граней 
и 
соответственно.
— правильная пирамида.
|
В треугольной пирамиде а) Докажите, что треугольник б) Найдите объём пирамиды |
боковые рёбра 
и 
равны. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы 
треугольника 
равнобедренный.
если 
а высота пирамиды равна 15.|
Основанием прямой треугольной призмы а) Докажите, что б) Найдите расстояние между прямыми |
является прямоугольный треугольник 
причем 
Известно, что прямая 
перпендикулярна прямой 
и 
если известно, что 
|
Основанием четырехугольной пирамиды а) Докажите, что б) Найдите угол между гранями |
является прямоугольник 
причем 
Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин 
и 
опущены перпендикуляры 
и 
на ребро 
— середина отрезка 
и 
если 
|
Дана четырехугольная пирамида а) Докажите, что грани б) Найдите объем пирамиды |
в основании которой лежит трапеция 
с большим основанием 
Известно, что сумма углов 
и 
равна 
Грани 
и 
перпендикулярны плоскости основания. 
— точка пересечения прямых 
и 
и 
перпендикулярны.
если известно, что 
а высота пирамиды 
равна 12.|
Основанием прямой треугольной призмы а) Докажите, что б) Найдите объем пирамиды |
является прямоугольный треугольник 
причем 
Диагонали боковых граней 
и 
равны соответственно 26 и 10, 
— прямоугольный.
|
На ребрах а) Докажите, что точки б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды |
и 
треугольной пирамиды 
отмечены точки 
и 
соответственно, причем 
Точки 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно.
и 
лежат в одной плоскости.
|
Дан прямоугольный параллелепипед а) Докажите, что б) Найдите угол между плоскостью |
Через прямую 
параллельно прямой 
проведена плоскость 
причем сечение параллелепипеда плоскостью 
представляет собой ромб.
— квадрат.
и плоскостью 
если 
и 
|
В основании правильной пирамиды а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию равен б) Найдите площадь сечения пирамиды. |
лежит квадрат 
со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину 
и середину ребра 
перпендикулярно этому ребру.
|
Дана правильная четырехугольная пирамида а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки б) Найдите площадь этого сечения. |
все ребра которой равны 12. Точка 
— середина бокового ребра 
точка 
делит боковое ребро 
в отношении 
считая от вершины 
и 
параллельно прямой 
является равнобедренной трапецией.|
В правильном тетраэдре а) Докажите, что прямые б) Найдите угол между прямыми |
точка 
— центр грани 
а точка 
— середина ребра 
и 
перпендикулярны.
и 
|
В кубе а) Докажите, что угол между прямыми б) Найдите расстояние между прямыми |
все ребра равны 6.
и 
равен 
и 
|
В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки а) Докажите, что прямые б) Найдите расстояние между прямыми |
и 
На окружности верхнего основания отмечены точки 
и 
так, что 
является образующей цилиндра, перпендикулярной основаниям, а 
пересекает ось цилиндра.
и 
перпендикулярны.
и 
если 
|
В правильной треугольной призме a) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы б) Найдите угол между прямой |
сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка 
— середина ребра 
а точка 
— точка пересечения диагоналей боковой грани 
плоскостью 
лежит на отрезке 
и плоскостью 
|
В правильной четырёхугольной пирамиде a) Докажите, что плоскость б) Найдите расстояние между прямыми |
сторона основания 
равна 4, а боковое ребро 
На рёбрах 
и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой 
делит ребро 
в отношении 
считая от вершины 
и 