Решить задачу
| 24.04.2025, 19:37 | |
Точка а) Плоскость б) Пусть | |
|
| |
| Просмотров: 7 | | |
— середина бокового ребра 
правильной четырёхугольной пирамиды 
точка 
лежит на стороне 
основания 
Плоскость 
проходит через точки 
и 
параллельно боковому ребру 
пересекает ребро 
в точке 
Докажите, что 
Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость 
разбивает пирамиду 
| Всего комментариев: 2 | |
0
а) Пусть
 — высота пирамиды  Так как пирамида правильная, то  — середина  В плоскости  проведем  Тогда  — средняя линия треугольника  так как  и  значит,  Пусть  пересекает  в точке  а  — в точке  Точка  лежит в плоскости  значит, можем провести прямую  в этой плоскости. Заметим, что  — это плоскость  так как она проходит через точки  и  и содержит прямую  то есть  Тогда  пересекает  в точке   Ответ: Рассмотрим треугольники
 и  Они равны по второму признаку:   как накрест лежащие,  как вертикальные. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит,  следовательно,  Рассмотрим треугольники  и  Они подобны по двум углам:  и  как соответственные. Тогда имеем:  Запишем теорему Менелая для треугольника  и секущей  
0
б) Пусть
  Найдем объем пирамиды  По условию  Значит, по предыдущему пункту  Тогда площадь треугольника  равна  Высота пирамиды  равна половине высоты пирамиды  то есть  Тогда объем пирамиды  равен  Ответ: Найдем объем пирамиды
 По предыдущему пункту имеем:  Тогда высота пирамиды  равна  Также по предыдущему пункту треугольники  и  подобны с коэффициентом 2, значит,  Тогда можем найти объем  многогранника   Объем всей пирамиды равен  Тогда можем найти объем  многогранника   Тогда искомое отношение объемов равно  | |
