а) Пирамида правильная, следовательно, проекция  точки  на плоскость  является центром правильного треугольника . Точка  — середина отрезка , следовательно, ее проекцией на плоскость  будет середина  отрезка  так как  — проекция точки 


Точка  является точкой пересечения медиан треугольника ,  — медиана треугольника  Точка пересечения медиан делит их в отношении  считая от вершины, следовательно,  При этом  — середина  значит, точки  и  делят медиану на три равные части и  Также  как радиусы описанной окружности правильного треугольника  Получили, что  причем  — проекция  на плоскость  а  — проекция  на плоскость  Это равенство и требовалось доказать.

б) Обозначим через  угол . Тогда из прямоугольного треугольника 

Запишем теорему косинусов для угла  треугольника 

Подставим  и решим полученное уравнение, чтобы найти 



Угол  острый, следовательно, его косинус равен  и  Треугольник  прямоугольный с  так как  — биссектриса и высота, тогда

Тогда сторона правильного треугольника  равна 6.
Так как  то по теореме Пифагора для треугольника  высота  пирамиды равна

Осталось найти объем пирамиды: