Решить задачу
| 24.04.2025, 19:39 | |
Дана правильная треугольная призма a) Докажите, что точки б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью | |
|
| |
| Просмотров: 7 | | |
в которой сторона основания 
боковое ребро 
Пусть 
— точка пересечения диагоналей грани 
точки 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно.
и 
лежат в одной плоскости.
| Всего комментариев: 2 | |
0
а) Рассмотрим сечение призмы плоскостью
 В плоскости  проведем прямую  до пересечения с прямой  в точке  Заметим, что  так как   как вертикальные и  как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми  и  и секущей  Тогда  — параллелограмм. Аналогично в плоскости  проведем прямую  до пересечения с прямой  в точке  и получим, что  — параллелограмм. Заметим, что  и прямые  и  параллельны, значит, в плоскости  четырехугольник  является параллелограммом. Следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть середина отрезка  точка  является серединой отрезка  который лежит в плоскости  Значит, точки  ,  ,  и  лежат в одной плоскости. 
0
б) Пусть прямая
 пересекает ребра  и  в точках  и  соответственно. Тогда пятиугольник  — сечение призмы плоскостью  Рассмотрим плоскость  В ней для треугольника  и его секущей  по теореме Менелая выполнено:  Тогда, так как  то  и  Рассмотрим треугольник  В нем  значит, по теореме Пифагора  Аналогично рассмотрим треугольники  и  и получим, что   и  Заметим, что  и  Значит, по теореме о пропорциональных отрезках  Ответ: Пусть точки
 и  — середины отрезков  и  соответственно. Тогда точки  и  — середины отрезков  и  соответственно. Рассмотрим треугольник  В нем  — средняя линия, значит,  и  Аналогично  — средняя линия в треугольнике  значит,  и   Заметим, что  значит,  Аналогично  Отрезки  и  — медианы в равносторонних треугольниках со стороной  значит,  Площадь искомого сечения равна   Так как  то площадь треугольника  равна  Тогда площадь пятиугольника  равна   | |
