а) Пусть заданная в условии плоскость пересекает  и  в точках  и  соответственно. Тогда

Из параллельности следует, что  с коэффициентом  а также  с коэффициентом 
Из подобия имеем

причем по условию

Получили, что  равен и параллелен  значит,  — параллелограмм. Осталось доказать, что  из этого будет следовать, что  является прямоугольником.


Пусть  — проекция точки  на плоскость  тогда  — центр равностороннего треугольника  а значит, прямая  — биссектриса, медиана и высота, так как пирамида правильная. Точка  — пересечение прямых  и   Тогда по обратной теореме Фалеса

Кроме того, с привлечением теоремы о трех перпендикулярах имеем:

Тогда получаем

Вспомним, что  тогда  значит,  — прямоугольник.

б)  значит, расстояние от  до  равно расстоянию от прямой  до плоскости 
Пусть  — основание перпендикуляра из  на   — точка пересечения  и 
В пункте а) мы уже показали, что плоскость  перпендикулярна прямым  и  а значит и всей плоскости 
Точка  также лежит в плоскости  получаем, что часть отрезка  заключенная между отрезками  и  и есть искомое расстояние.


Найдем отрезок  — высоту в равностороннем треугольнике