а) Пусть точки ,  — середины ребер  и  соответственно. Тогда  — средняя линия треугольника , значит, . Аналогично , следовательно .
Значит, точки , , ,  лежат в одной плоскости, которая параллельна прямой , следовательно, это и есть плоскость .
Так как тетраэдр правильный, его грани — это равные правильные треугольники. Тогда их средние линии попарно равны, в частности, , значит,  — ромб.
Рассмотрим треугольники  и . В них  и , так как тетраэдр  правильный. Тогда  по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит, равны и их медианы, то есть . Следовательно,  — квадрат.


б) Площадь квадрата  равна