а) Пусть плоскость  пересекает ребра  и  в точках  и  соответственно, а точка  — середина ребра . Тогда  — медиана и высота в равнобедренном треугольнике ,  — медиана и высота в равностороннем треугольнике . Значит,  и , следовательно, . Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, значит, .


Плоскость , параллельная прямой , пересекает плоскости  и  по прямым  и , значит,  и . Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
Значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, прямые  и  параллельны прямой . Таким образом,  является параллелограммом, пары противоположных сторон которого параллельны перпендикулярным прямым  и  соответственно, то есть  — прямоугольник.

б) Прямая , параллельная прямой , перпендикулярна плоскости , значит, плоскости  и  перпендикулярны.
Пусть плоскость  пересекает прямые  и  в точках  и  соответственно. Тогда высота пирамиды  равна расстоянию  между точкой  и прямой .
Пусть  — высота правильной пирамиды , тогда  лежит в плоскости  и .  — медиана равностороннего треугольника  со стороной 6, значит,
Найдем косинус и синус угла :
Пусть  — перпендикуляр, опущенный из точки  на прямую . Тогда