Предположим, что прямая  пересекает вторую дугу в точке  и  – не середина этой дуги. Отметим точку  – середину дуги .
 
Рассмотрим  и . Они равнобедренные, т.к.  – радиусы окружности ,  – радиусы окружности .
 

Рассмотрим окружность . Т.к. угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то угол между касательной  и хордой  равен половине дуги  (которая меньше полуокружности по рисунку). Обозначим . Следовательно, , т.к. он центральный, опирающийся на дугу , равную .
 
Рассмотрим окружность . Т.к.  – середина дуги , то . Следовательно, в равнобедренном треугольнике   – биссектриса. Следовательно, она и высота, то есть . Но  (как радиус, проведенный в точку касания в окружности ), следовательно, обе прямые  и  перпендикулярны , следовательно, они параллельны.
Заметим, что т.к. окружности  и  касаются, то их центры  и  и точка касания  лежат на одной прямой.
 
Таким образом,  как соответственные углы при  и  – секущей.
 
Значит, . А т.к. точки  лежат на одной прямой, то и точки  лежат на одной прямой. Следовательно,  совпадает с .

Ответ: Доказательство