В равностороннем треугольнике  провели медианы  и  На медиане  отметили точку  так, что 

а) Докажите, что описанная вокруг треугольника  окружность делит отрезок  в отношении  считая от вершины 

б) Известно, что эта же окружность пересекает  в точке  Ёe радиусы  и  пересекают медианы  и  в точках  и  Найдите отношение 

А вот и вторая геометрическая задачка из воспоминаний Деда Мороза: Две окружности разных радиусов пересекаются в точках  и  причем их центры лежат по разные стороны от хорды  Вне обеих окружностей взята точка  лежащая по ту же сторону от хорды  что и центр меньшей окружности. Прямая  пересекает меньшую окружность в точках  и  а большую — в точках  и  Прямая  пересекает меньшую окружность в точках  и  а большую — в точках  и 

а) Докажите, что  = 

б) Найдите сумму произведений длин противоположных сторон четырехугольника  если  и 

В треугольнике  в котором  на стороне  выбрана точка  и вокруг треугольников  и  описаны окружности  и  соответственно. Касательная, проведенная к  в точке  пересекает второй раз  в точке  Докажите, что 

В остроугольном треугольнике  угол  равен   и  — его высоты, а  — середина стороны  Докажите, что треугольник  — равносторонний.

В треугольнике  биссектрисы  и  пересекаются в точке  величина угла  составляет 

а) Докажите, что около четырехугольника  можно описать окружность.

б) Найдите площадь треугольника  если  а 

Отрезок  является диаметром окружности, а точка  лежит вне окружности. Отрезки  и  пересекаются с окружностью в точках  и  соответственно. Найдите угол  если площади треугольников  и  относятся как 

Окружности  и  пересекаются в точках  и  центр  окружности  лежит на окружности  Хорда  окружности  пересекает окружность  в точке  Оказалось, что  лежит внутри треугольника  Докажите, что отрезки  и  перпендикулярны.

На стороне  треугольника  как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны  и  в точках  и  соответственно. Найдите площадь треугольника  если площадь треугольника  равна  а угол  равен 

Одна из сторон треугольника равна  прилежащие к этой стороне углы равны  и  Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

Две окружности пересекаются в точках  и  Из точки  проведены два луча, один из которых пересекает первую окружность в точке  а вторую — в точке  Другой луч пересекает первую окружность в точке  а вторую в — точке  Известно, что лучи лежат по разные стороны относительно  Докажите, что углы  и  равны.

В треугольнике  известны стороны: , , . Окружность, проходящая через точки  и , пересекает прямые  и  соответственно в точках  и , отличных от вершин треугольника. Отрезок  касается окружности, вписанной в треугольник . Найдите длину отрезка .

Окружность с центром на основании треугольника касается его боковых сторон и средней линии. Найдите основание, если боковые стороны треугольника равны  и .

Две окружности касаются друг друга внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми , касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.

В угол с градусной мерой  вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен . Найдите радиус большей окружности.

Окружность, вписанная в треугольник , площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне . Известно, что . Найдите сторону .

Четырехугольник  описан около окружности с центром  Докажите, что 

Окружность с центром , вписанная в треугольник , касается сторон  и  в точках  и  соответственно. В четырёхугольник  можно вписать окружность. Найдите угол , если известно, что радиус этой окружности вдвое меньше радиуса вписанной окружности треугольника . Ответ дайте в градусах.

Окружность касается стороны  и продолжения сторон  и  треугольника  причем   Найдите радиус этой окружности.

Окружность касается стороны  и продолжений сторон  треугольника  Найдите радиус этой окружности.

Катеты прямоугольного треугольника равны  и , а гипотенуза равна . Докажите, что радиус вписанной окружности равен