а)
1. Пусть медианы  пересекаются в точке  По свойству данной точки 
2. Раз  и  то  — это середина отрезка 
3. По определению  — это средняя линия  которая параллельна 
4. Проведём высоту  в   лежит на высоте треугольника  следовательно,  и 
5. Продлим  до пересечения с  в точке 

6. Поскольку  и  — середина боковой стороны  то  — это средняя линия  и 
7. В равностороннем треугольнике высоты и медианы совпадают, стало быть,  — середина  откуда 
8. Теперь нам осталось доказать, что  — это и есть та самая точка пересечения окружности и отрезка  (не считая точки ).
9.  откуда  — вписанный и  — действительно точка пересечения окружности с отрезком  Ч.Т.Д. б)
1. Провед̈eм перпендикуляры  и  на  и  соответственно.
2. Поскольку  равносторонний, то  и  ещё и биссектрисы. Таким образом, 
3. По сумме углов 

4. Вписанный  и центральный  опираются на одну дугу, стало быть 
5. Поскольку  то  —- вписанный и 
6.  как вертикальные.

то есть 
7.  поскольку  и  — перпендикуляры.
8. Из прошлых двух пунктов выводим подобие  по двум углам. Раз так, то 

9.  следовательно,  — диаметр и 
10.  и  — середина  стало быть  — средняя линия 
11. Из прошлого пункта следует, что  с коэффициентом подобия 
12.    Эти три тезиса в сумме говорят о равенстве 
13. Из прошлых двух пунктов следует, что  с тем же коэффициентом подобия 
14.  и  — высоты данных треугольников, следовательно, их длины связаны тем же коэффициентом подобия 
15. Из пунктов 14) и 8) следует, что 

Ответ:б)