Обе точки  и  не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок  не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки  и  лежат на сторонах треугольника. Четырёхугольник  — вписанный, следовательно,

Значит, треугольник  подобен треугольнику , так как угол  — общий.
Пусть вписанная окружность касается стороны  в точке ,  и  — полупериметры треугольников  и  соответственно. Тогда

значит, коэффициент подобия треугольников равен . Следовательно,

Пусть точка  лежит на продолжении стороны . Вписанные углы  и  равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. Значит, треугольник  подобен треугольнику , так как угол  — общий. Эти треугольники описаны около одной и той же окружности, следовательно, коэффициент подобия равен 1, т. е. треугольники равны, поэтому .
Заметим, что  и точка  действительно лежит на продолжении стороны .
Если же точка  лежит на продолжении стороны , то , но аналогично предыдущему случаю получаем, что . Значит, этот случай не достигается.

Ответ: И 10