Сделаем замену  Тогда имеем:

Следовательно, уравнение равносильно

Так как замена линейная, то исходное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение с заменой имеет единственное решение.
Функция  является четной и уравнение имеет вид . Следовательно, если это уравнение имеет решение , то оно имеет также решение . Значит, количество решений уравнения будет четным, если среди решений нет , и нечетным, если среди решений уравнения есть . Так как нам требуется, чтобы уравнение имело единственное решение, что является нечетным количеством, то  — решение уравнения.
1.Найдем, при каких  число  является решением уравнения:2.Проверим, является ли  единственным корнем уравнения при найденных  или уравнение имеет другие корни. Для этого заметим, что если мы определим хотя бы один корень , то найденные значения параметра нам не подойдут. Если же мы докажем, что других корней нет, то найденные  нам подходят.Итак, при  уравнение имеет видСледовательно,  нам подходит.При  уравнение имеет видЛевая часть уравнения , а правая часть уравнения  Следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны нулю:Следовательно,  нам подходит.При  уравнение имеет видРассмотрим функцииСравним значения функций в точках  и 1.Тогда имеем: