Name: Произвольные последовательности чисел
Item: Произвольные последовательности чисел
Author: alexinstall365

Произвольные последовательности чисел

	25.04.2025, 21:10
Илья придумал бесконечную последовательность натуральных чисел, в которой каждый член, начиная с сотого, равен последней цифре квадрата предыдущего члена (в десятичной записи). Можно ли с уверенностью утверждать, что, начиная с некоторого номера $N$ , члены этой последовательности повторяются периодически c некоторым периодом $T > 0$ (т.е. при любых $k ∈ ℕ$ выполнено равенство $aN+k = aN+k+T$ )?
1 2 3 4 5 Добавил: alexinstall365 \|
Просмотров: 5 \| Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 1
Порядок вывода комментариев: 0 1 alexinstall365 • 21:10, 25.04.2025 Заметим, что каждый член последовательности, начиная с сотого, однозначно определяется единственным предыдущим ему членом последовательности, следовательно, если в данной последовательности, начиная с сотого члена, дважды встречается одно и то же число, то она периодическая. Остаётся показать, что некоторое число такого вида действительно встретится в последовательности Ильи не менее двух раз, начиная с сотого члена. Начиная с сотого члена, каждый член последовательности совпадает либо с 0, либо с 1, ..., либо с 9. Так как последовательность бесконечная, то найдётся член этой последовательности, который повторяется бесконечное число раз. Таким образом, последовательность Ильи периодична. Ответ: Да