Боря выписал все различные делители числа . Сколько чисел выписал Боря?

В честь своего следующего дня рождения Тимур планирует накрыть праздничный стол на себя и шестерых гостей. Тимур хочет сесть во главе стола (его место фиксировано). Он думает, как ему рассадить гостей на шесть одинаковых гостевых стульев (ему не важно, на какой гостевой стул кто сядет, важно лишь кто будет соседями каждого гостя). Сколькими способами он может это сделать?

Боря выписал все различные делители числа . Сколько чисел выписал Боря?

Шесть пчёлок прилетели опылять два разных цветочка. Они договорились, что один цветочек будет опылять ровно одна пчёлка. Им предстоит решить, кому достанутся эти два цветочка на опыление. Сколькими способами они могут распределить двух пчёлок по двум разным цветочкам?

Решите в целых числах уравнение 

Решите уравнение

в целых числах.

Докажите, что если НОД, где , то не существует целых чисел  и , таких что .

Решите уравнение  в целых числах.

Есть 27 монет, часть из них серебряные, остальные — медные. Известно, что одна из них фальшивая, а остальные настоящие. При этом настоящая серебряная монета отличается по весу от настоящей медной, а фальшивая монета легче настоящей монеты из того же металла. Как найти фальшивую монету за три взвешивания?

Пусть имеется 7 серебряных монет и 2 медные, причём медные отличаются по виду от серебряных. Известно, что одна из монет фальшивая, а остальные настоящие. При этом настоящая серебряная монета отличается по весу от настоящей медной, а фальшивая монета легче настоящей монеты из того же металла. Как найти фальшивую монету за два взвешивания?

Среди восьми монет, возможно, есть одна лёгкая фальшивая монета (но её может и не быть). Как за два взвешивания найти фальшивую монету, если она есть, или доказать, что её нет?

Из полного графа на 100 вершинах выкинули 98 ребер. Мог ли получиться несвязный граф?

На спартакиаде проводились соревнования по пяти видам спорта. Каждый из 30 семиклассников принял участие в соревнованиях либо по одному, либо по трём видам спорта, а в каждом из видов число принимавших участие было 15 или 25. Докажите, что такого быть не могло.

В стране 96 городов, из которых 24 — «областные». Некоторые пары городов соединены между собой дорогами (но не более чем одной), причём любой путь по дорогам между двумя обычными городами, если он есть, проходит хотя бы через один «областной» город. Какое наибольшее количество дорог могло быть в этой стране?

В стране 100 городов, занумерованных от 1 до 100. Дума приняла закон, по которому из каждого города с номером  должно выходить количество дорог, равное -ному простому числу. Можно ли выполнить такой закон?

В прямоугольную таблицу  вписали целые числа (здесь  – число строк). При этом оказалось, что сумма чисел в каждом столбце попадает на отрезок , а сумма чисел в каждой строке попадает на отрезок . Какое наименьшее значение могло иметь выражение ?

Имеется 8 кучек камней, причем во всех кучах число камней разное (куча может состоять из любого, не меньшего 1, числа камней). Известно, что любую из куч можно убрать и все камни из нее разложить по другим кучам так, чтобы число камней в них стало одинаковым. Какое наименьшее число камней может быть в самой большой куче?

В странном кинозале места образуют треугольник: в первом ряду одно место, во втором ряду два места, ..., в -ом ряду  мест. Известно, что число мест в кинозале положительно и делится на . Какое наименьшее количество стульев может быть в таком зале?

Какое наибольшее число трёхклеточных уголков можно вырезать из клетчатого квадрата ?

Можно ли расположить  одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно

а) по  монеты;

б) по  монеты;

в) по  монеты;

г) по  монет;

д) по  монет;

е) по  монет?

(Разрешается класть монеты одну на другую).