Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет
| 25.04.2025, 20:21 | |
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем. а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем? б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну? в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе? | |
|
| |
| Просмотров: 77 | | |
| Всего комментариев: 3 | |
0
Пусть изначально было
 юношей и  девушек. Пусть  парней из  послали по 21 письму девушкам. а) Если  юношей отправили по 21 письму, то  юношей отправили по 4 письма. Всего было отправлено  писем. Если каждая девушка получила по 7 писем, то всего писем было получено  Значит,  При  равенство выполняется. Значит, если девушек и юношей было по 17 и 3 юноши отправили по 21 письму, а 14 — по 4, то каждая девушка получила по 7 писем. Действительно, 
0
б) Пусть каждая девушка получила по
 писем. В предыдущем пункте мы получили, что всего писем было отправлено  тогда выполняется равенство:  Докажем, что  не может быть меньше 17. Пусть это не так. По условию юношей, отправивших по 4 письма, хотя бы 2, то есть  юношей, отправивших по 21 письму, хотя бы 2, то есть  поэтому  Из предположения  поэтому получаем:  Число  — натуральное, поэтому  делит  Так как 17 — простое число и  то  должно делиться на  но  Противоречие. Значит,  Пример на 17 девушек был приведен в пункте а).
0
в) Если девушки получили разное количество писем, то полученное количество писем больше или равно суммарному количеству писем от 0 до
 Девушка с наименьшим количеством писем получила хотя бы 0 писем, следующая по количеству писем получила хотя бы 1, …, девушка с наибольшим количеством писем получила хотя бы  письмо. Тогда можем записать неравенство:  Заметим, что  поэтому:  Найдем решения этого неравенства:  Значит,  Значит,  может быть не более 41. Пример для   Суммарно 41 девушка получила 827 писем: первые 40 девушек получили разное количество писем от 0 до 39, последняя получила 47 писем. При этом 39 юношей отправили по 21 письму, 2 юноши отправили по 4 письма. Ответ:а) Да, могло б) 17 в) 41 | |
