а) Если числа  являются сторонами некоторого треугольника, то для них выполнены неравенства треугольника: .
Возьмем последовательные 5 чисел Фибоначчи: : каждое следующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Следовательно, для любых трех чисел  из этой пятерки большее число будет  сумме двух других, следовательно, не будет выполняться неравенство треугольника (если эти числа последовательные, например, , то ; если эти числа непоследовательные, например, , то ).
Ответ: да.

б) Упорядочим данные 4 числа по возрастанию: . Всего из данных чисел можно составить 4 различные тройки: ; ; ; .
Заметим, что если тройка чисел является “отличной”, то для нее выполнена теорема Пифагора: .
Тогда можно сразу сказать, что у нас не могут быть одновременно “отличными” тройки  и , так как тогда должно быть выполнено , , а  (так как по условию числа различные).
Таким образом, для того, чтобы среди этих четырех чисел оказалось три “отличных” тройки, то это должны быть: ;  и одна из троек:  или .
Аналогично можно заметить, что обе тройки  и  также не могут быть одновременно “отличными” (по тем же рассуждениям:  и , откуда ). Следовательно, “отличных” троек может быть не более двух. Таким образом, ответ: нет.

в) Упорядочим числа по возрастанию: . Нам нужно, чтобы у нас было наибольшее возможное количество “отличных” троек. Будем обозначать “отличную” тройку следующим образом: , имея в виду, что  – катеты,  – гипотенуза, то есть .
Давайте подумаем, сколько у нас может быть различных “отличных” троек с одинаковой гипотенузой . Заметим, что если в двух различных “отличных” тройках  и  есть одинаковый катет (это катет ), то тогда по теореме Пифагора , то есть тройки не являются различными. Исходя из этого, в двух различных “отличных” тройках с одинаковой гипотенузой нет одинаковых катетов.
Таким образом, так как среди 10-ти данных чисел ровно 9 чисел, меньших , мы можем составить максимум 4 пары катетов так, чтобы получить 4 различные “отличные” тройки с гипотенузой .
Аналогично, мы можем составить максимум 4 различные “отличные” тройки с гипотенузой ; три — с гипотенузой  и три — с гипотенузой ; две — с гипотенузой  и две — с гипотенузой ; одну — с гипотенузой  и одну — с гипотенузой  (и, вообще говоря, ни одной с гипотенузой  или ).
Следовательно, максимум мы можем составить 20 различных “отличных” троек, но никто не гарантирует, что мы сможем это сделать.
То есть мы доказали, что больше 20-ти составить точно не удастся, но для того, чтобы дать в задаче ответ: 20, мы должны привести конкретный пример из 10-ти различных чисел, необязательно натуральных, из которых мы сможем составить ровно 20 различных “отличных” троек.
А вот и пример:
Будем составлять тройки следующим образом:





 
Придерживаясь этого правила, мы составим ровно 20 различных “отличных” троек.

Ответ:а) даб) нетв) 20