В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Прямая, проходящая через D параллельно AB, пересекает AC в точке E. AB = 6, AC = 8, BC = 10.
а) Докажите, что DE = EC.
б) Найдите длину отрезка AE.

В треугольнике ABC биссектриса BM и средняя линия DE (D на AB, E на BC) пересекаются в точке N. AB = 13, BC = 14, AC = 15.
а) Докажите, что BN : NM = BC : AB.
б) Найдите длину отрезка DN.

В треугольнике ABC биссектриса AD и высота BE пересекаются в точке F. AC = 6, BC = 8, AB = 10.
а) Докажите, что треугольник AEF — равнобедренный.
б) Найдите длину отрезка CF.

В треугольнике ABC биссектриса CK и медиана AP пересекаются в точке M. AB = 9, BC = 10, AC = 11.
а) Докажите, что CM : MK = AC : BC.
б) Найдите отношение площади треугольника CMP к площади треугольника ABC.

В треугольнике ABC биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D. Прямая, проходящая через D перпендикулярно BD, пересекает BC в точке E. AB = 5, BC = 6, AC = 7.
а) Докажите, что BE = EC.
б) Найдите длину DE.

В треугольнике ABC биссектриса AL и медиана BM пересекаются в точке O. AB = 11, BC = 12, AC = 13.
а) Докажите, что AO : OL = AB : AC.
б) Найдите длину отрезка BO.

В треугольнике ABC биссектриса AM пересекает высоту BH в точке K. AB = 8, BC = 7, AC = 9.
а) Докажите, что AK : KM = AB : BM.
б) Найдите отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC.

В треугольнике ABC биссектриса BK и высота CL пересекаются в точке T. BC = 9, AC = 10, AB = 11.
а) Докажите, что четырёхугольник ABTL — вписанный.
б) Найдите угол BAC.

В треугольнике ABC биссектриса AD и средняя линия MN (M на AB, N на AC) пересекаются в точке L. AB = 10, AC = 12, BC = 14.
а) Докажите, что AL : LD = (AB + AC) : BC.
б) Найдите длину отрезка LN.

В треугольнике ABC биссектриса BM и медиана CN пересекаются в точке K. AB = 7, BC = 8, AC = 9.
а) Докажите, что BK : KM = BC : AB.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника ANKM к площади треугольника ABC.

В треугольнике ABC биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Прямая, проходящая через D параллельно AC, пересекает BC в точке E. AC = 8, BC = 6, AB = 10.
а) Докажите, что DE = EC.
б) Найдите длину отрезка DE.

В треугольнике ABC биссектриса AL и высота BH пересекаются в точке F. AC = 10, AB = 12, BC = 14.
а) Докажите, что AF : FL = AB : AC.
б) Найдите отношение AF : FH.OM.

В треугольнике ABC биссектриса BK и медиана AM пересекаются в точке O. AB = 6, BC = 7, AC = 8.
а) Докажите, что AO : OM = (AB + AC) : BC.
б) Найдите площадь треугольника BOM.

В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Прямая, проходящая через D перпендикулярно AD, пересекает AC в точке E. AB = 5, AC = 7, BC = 8.
а) Докажите, что BE = EC.
б) Найдите длину DE.

В треугольнике ABC биссектриса CK и высота AH пересекаются в точке T. AB = 6, BC = 8, AC = 10.
а) Докажите, что точка T лежит на средней линии треугольника.
б) Найдите длину отрезка AT.

В треугольнике ABC биссектриса AD и медиана BM пересекаются в точке P. Известно, что AB = 9, BC = 12, AC = 15.
а) Докажите, что AP : PD = 2 : 1.
б) Найдите расстояние от точки P до стороны AC.

В треугольнике ABC биссектриса BK пересекает медиану CM в точке O. AB = 10, BC = 8, AC = 12.
а) Докажите, что CO : OM = (AB + BC) : AC.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника AOKM к площади треугольника ABC.

В треугольнике ABC биссектриса BD и высота CE пересекаются в точке F. AC = 8, BC = 7, AB = 6.
а) Докажите, что треугольник BEF равнобедренный.
б) Найдите длину отрезка BF.

В треугольнике ABC биссектриса AL и медиана CM пересекаются в точке K. AB = 12, BC = 10, AC = 14.
а) Докажите, что AK : KL = AB : AC.
б) Найдите отношение площади треугольника AKM к площади треугольника ABC.

В треугольнике ABC биссектриса AD пересекает высоту BH в точке E. Известно, что AB = 13, BC = 14, AC = 15.
а) Докажите, что четырёхугольник AEDC — трапеция.
б) Найдите площадь этой трапеции.