Пусть , может ли при этом выполняться равенство ?

Составьте из цифр  магический квадрат, то есть разместите их в квадратной таблице так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

Известно, что . Можно ли расставить в квадрат  числа , ,  так, чтобы суммы чисел по всем строкам и всем столбцам были различны?

Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как хромая ладья (на одну клетку по вертикали или горизонтали). Попав в очередную клетку, он либо перекрашивается в её цвет, либо перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона кладут на чёрную доску размером  клеток. Сможет ли он раскрасить её в шахматном порядке?

Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. Какое наибольшее число зайчат сможет начать барабанить?

8 грибников собрали 37 грибов. Известно, что никакие двое не собрали грибов поровну и каждый нашёл хотя бы один гриб. Докажите, что какие-то двое из них собрали больше, чем какие-то пятеро.

На доске написано 15 чисел. Известно, что сумма любых четырех из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели.

(В футбольной команде 11 игроков)

Обязательно ли среди двадцати пяти “медных” монет (то есть монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинакового достоинства?

Коля написал на доске шесть произвольных чисел. Докажите, что можно выбрать два из них, разность которых делится на 5.

Докажите, что среди любых  натуральных чисел найдутся два, разность которых делится на .

Катя написала длинное число из нулей и единиц: 10101010101010. Даша может дописать к числу Кати в любом месте 1010 или зачеркнуть кусочек 01. Сможет ли она такими операциями получить 01?

Дана доска  раскрашенная в шахматном порядке. За одно действие можно выбрать любые две соседние клетки и перекрасить их в противоположные цвета: белые в черный, черные в белый. Можно ли за несколько действий оставить на доске ровно одну черную клетку?

В одном маленьком африканском государстве каждый день на плантацию выходит  человек и они работают весь день, пока солнце еще высоко. После  рабочих дней оказалось, что никакие два человека не работали вместе два или больше раз. Докажите, что в маленьком африканском государстве на плантации за эти  дней работало больше  человек.

В языке Древнего Московского Племени алфавит состоит всего из двух букв: “М” и “О”. Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний “МО” и “ООММ”, повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Московского Племени слова “ММО” и “ОММО”?

Илья придумал бесконечную последовательность натуральных чисел, в которой каждый член, начиная с сотого, равен последней цифре квадрата предыдущего члена (в десятичной записи). Можно ли с уверенностью утверждать, что, начиная с некоторого номера , члены этой последовательности повторяются периодически c некоторым периодом  (т.е. при любых  выполнено равенство )?

Илья выписал последовательность остатков от деления последовательно идущих натуральных чисел на 3 (начиная с некоторого числа). Верно ли, что начиная с некоторого номера , члены последовательности повторяются периодически c некоторым периодом  (т.е. при любых  выполнено равенство )?

Верно ли, что при любом  последовательность  не убывает?

Верно ли, что при любом  последовательность  убывает?

Известно, что в геометрической прогрессии первый и третий члены — целые числа. Значит ли это, что второй член этой прогрессии — рациональное число?