Известно, что  при этом  Какое наибольшее значение может принимать 

Известно, что  взаимно просты и дробь  сократима на число   Найдите наибольшее возможное 

Коля получает пятёрку через каждые 6 дней, Вася получает пятёрку через каждые 9 дней, а Андрей получает пятёрку через каждые 15 дней. Те дни, когда они втроём получают по пятёрке, они называют днями икс. Через сколько дней наступит следующий день икс, если известно, что сегодня тоже день икс?

Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 10000. Найдите сумму этих чисел.

Разложите число 2016 на простые множители.

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 1330?

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 594?

Докажите, что  делится на 120 при любом 

Докажите, что произведение любых четырёх последовательных целых чисел делится на 8.

Докажите, что произведение любых трёх последовательных целых чисел:

а) делится на 3;

б) делится на 6.

Верно ли, что если число делится на 8 и на 6, то оно делится и на 48?

Для последовательности целых чисел  и любого натурального числа  верно неравенство 

а) Приведите пример последовательности для 

б) Существует ли такая последовательность при 

в) Найдите наибольшее значение выражения 

Три числа назовём “хорошей” тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовём “отличной” тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной “хорошей” тройки?

б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три “отличных” тройки?

в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество “отличных” троек могло оказаться среди них?

На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21. При этом каждое число поставлено по одному разу. Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа  можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше 

Возрастающие арифметические прогрессии  …,  … и  …,  … состоят из целых положительных чисел.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых 

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение  если 

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.

a) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?

б) Получилось, что на  карточках есть только синяя и зелёная отметки, на  карточках — только синяя и красная, на  карточках — только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.

в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.

a) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?

б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.

в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

a) Может ли фишка оказаться на отметке «0», если Митя 45 раз бросил кубик?

б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–35»?

в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–40», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

а) Может ли фишка оказаться на отметке «–50», если Митя 30 раз бросил кубик?

б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–50»?

в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–55», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

Есть 4 камня по 3 тонны и 11 камней по 20 тонн.

а) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы разность сумм масс камней обеих групп была равна 14 тоннам?

б) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы сумма масс камней обеих групп была одинаковой?

в) Какую минимальную положительную разность сумм масс камней можно достичь при разложении камней на 2 группы?