Задача №5)

Докажите, что точка  симметричная ортоцентру  треугольника  относительно середины стороны  лежит на описанной окружности треугольника и диаметрально противоположна точке 

Задача №4)

Докажите, что точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно стороны, лежит на описанной окружности треугольника.

Задача №3)

Пусть   и  — высоты треугольника  Докажите, что

а) 

б) прямые   и  являются биссектрисами углов ортотреугольника 

Задача №2)

Пусть высоты   и  треугольника  пересекаются в точке  — ортоцентре треугольника  Докажите, что

а) четырёхугольники    являются вписанными.

б) четырёхугольники    являются вписанными.

Задача №1)

Докажите, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Задача №14)

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Задача №13)

Точки  и  — середины сторон  и  соответственно выпуклого четырёхугольника  Отрезок  пересекает диагонали  и  в различных точках  и  соответственно. Докажите, что 

Задача №12 )

Точки  и  расположены соответственно на сторонах  и  треугольника  причём   Отрезки  и  пересекаются в точке  Найдите отношение  Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Задача №11)

Точки  и  расположены соответственно на сторонах  и  треугольника  причём   Отрезки  и  пересекаются в точке  Найдите отношение  Ответ дайте в виде десятичной дроби

Задача №10)

На сторонах треугольника  и  выбраны точки  и  так, что  Докажите, что прямые  и медиана  пересекаются в одной точке

Задача №9)

Точки  и  расположены соответственно на сторонах  и  треугольника  причём   Прямая  пересекает продолжение стороны  в точке  Найдите отношение  Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Задача №8)

В треугольнике  отмечены точки    на сторонах   и  соответственно. Докажите, что прямые   и  пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Задача №7)

Точка  не лежит на сторонах и их продолжениях треугольника   — точка пересечения прямой  с перпендикуляром к  проходящим через точку  Аналогично определяются точки   Докажите, что точки    лежат на одной прямой.

Задача №6)

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Задача №5)

На сторонах   и  треугольника  отмечены точки    соответственно, причем    Отрезки  и  пересекаются в точке  Докажите, что  — параллелограмм.

Задача №4)

Через точку  лежащую на медиане  треугольника  проведены прямые  и  При этом точки  и  лежат на сторонах  и  соответственно. Докажите, что 

Задача №3)

В треугольнике  на середине стороны  отмечена точка  Точка  на продолжении стороны  за точку  такова, что  Найдите меньший из отрезков, на которые отрезок  делит сторону  если 

Задача №2)

Точки  и  расположены соответственно на сторонах  и  треугольника  причём   Прямая  пересекает продолжение стороны  в точке  Найдите отношение  Ответ дайте в виде десятичной дроби.

На медиане  треугольника  взята точка  причём  В каком отношении прямая  делит сторону 

Задача №20)

Корни уравнения

являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения

есть длины высот этого же треугольника. Найдите площадь  треугольника, периметр которого из всех возможных треугольников, удовлетворяющих условию, минимален.