– пирамида,  – параллелограмм со сторонами  и , . Из точки  опущен перпендикуляр  на плоскость , причём точка  – точка пересечения диагоналей , . Найдите объем пирамиды.

В основании пирамиды  лежит равнобедренная трапеция с основаниями  и .  – точка пересечения диагоналей трапеции, а  – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, , , . Найдите объем пирамиды.

Высота  треугольной пирамиды  падает на середину стороны ,  – правильный треугольник со стороной . Найдите объем пирамиды, если .

В пирамиде  высота  падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник  равнобедренный, боковые стороны равны , а основание . Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром  и плоскостью основания равен .

Дана пирамида , вершиной которой является точка , в основании лежит ромб, а высота  пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол  равен углу , а диагонали основания равны  и .

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

В основании пирамиды  лежит прямоугольный треугольник с прямым углом . Точка  – центр описанной вокруг треугольника  окружности,  – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что , , .

Плоскости  и  пересекаются по прямой , на которой лежат точки  и . Отрезки  и  перпендикулярны прямой  и лежат в плоскостях  и  соответственно, причем , , , . Найдите , где  – угол между плоскостями  и .

Даны прямые , пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен . Найдите , где  – угол между плоскостью, образованной прямыми  и , и плоскостью, образованной прямыми  и . Ответ дайте в градусах.

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите , где  – угол между ее смежными боковыми гранями.

В квадрате   — точка пересечения диагоналей;  — не лежит в плоскости квадрата,  Найдите угол между плоскостями  и  если  а 

Плоскости  и  пересекаются под углом, косинус которого равен . Плоскости  и  пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей  и  параллельна линии пересечения плоскостей  и . Найдите синус угла между плоскостями  и .

 – параллелепипед,  – квадрат со стороной , точка  – основание перпендикуляра, опущенного из точки  на плоскость , кроме того  – точка пересечения диагоналей квадрата . Известно, что . Найдите угол между плоскостями  и . Ответ дайте в градусах.

В кубе  точка  лежит на ребре  а точка  лежит на ребре  причем   Найдите квадрат косинуса двугранного угла, образуемого плоскостями  и 

В квадрате  диагонали пересекаются в точке  точка  не лежит в плоскости квадрата, при этом этом  Найдите угол между плоскостями  и  если  а  Ответ дайте в градусах.

Дан куб . Точка  – середина стороны . Чему равен квадрат котангенса угла между  и плоскостью ?

Чему равен , если  – угол наклона диагонали куба к одной из его граней?

 – куб. Точка  – середина ребра , а точка  делит отрезок  в отношении , считая от вершины . Найдите , где  – угол между прямой, содержащей , и плоскостью . Ответ дайте в градусах.

 – куб. Точка  – середина ребра , а точка  – середина отрезка . Найдите , где  – угол между прямой, содержащей , и плоскостью . Ответ дайте в градусах.

Дан треугольник  с углом . Вне плоскости треугольника отмечена точка  такая, что  и , . Известно, что , . Найдите косинус угла между прямой  и плоскостью треугольника.