А вот и вторая геометрическая задачка из воспоминаний Деда Мороза: Две окружности разных радиусов пересекаются в точках  и  причем их центры лежат по разные стороны от хорды  Вне обеих окружностей взята точка  лежащая по ту же сторону от хорды  что и центр меньшей окружности. Прямая  пересекает меньшую окружность в точках  и  а большую — в точках  и  Прямая  пересекает меньшую окружность в точках  и  а большую — в точках  и 

а) Докажите, что  = 

б) Найдите сумму произведений длин противоположных сторон четырехугольника  если  и 

Дан такой треугольник , что окружность с центром в точке  проходит через точки  и  и касается биссектрисы угла . Прямая  пересекает повторно окружность в точке . Внутри угла, вертикального к , выбрана точка  так, что две касательные, проведенные из точки  к окружности, параллельны прямым  и  соответственно, а отрезки этих касательных равны . Найдите квадрат стороны , если известно, что , а радиус окружности равен .

Хорда  разбивает окружность  на две дуги. Окружность  касается хорды  в точке  и одной из дуг в точке .
Докажите, что прямая  проходит через середину  второй дуги.

Даны две концентрические окружности с радиусами  и  и центром . Третья окружность касается одной окружности внешним образом и другой окружности внутренним образом. Найдите угол между проведенными из точки  касательными к третьей окружности.

Найдите радиус окружности, проходящей через вершину  прямого угла треугольника , основание  высоты  и точку  — середину катета , если гипотенуза треугольника равна .

Найдите геометрическое место точек, из которых проведены касательные к данной окружности, равные заданному отрезку.

К двум окружностям, пересекающимся в точках  и  проведена общая касательная. Докажите, что если  и  — точки касания, то 

Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки их пересечения до центра окружности, если расстояние между серединами хорд равно .

Докажите, что отличная от  точка пересечения окружностей, построенных на сторонах  и  треугольника  как на диаметрах, лежит на прямой 

Через концы диаметра окружности проведены две пересекающиеся на окружности хорды, сумма длин которых равна 14. Найдите сумму длин расстояний от центра окружности до этих хорд.

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Точки  и  — середины сторон  и  соответственно выпуклого четырёхугольника  Отрезок  пересекает диагонали  и  в различных точках  и  соответственно. Докажите, что 

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

На сторонах   и  треугольника  отмечены точки    соответственно, причем    Отрезки  и  пересекаются в точке  Докажите, что  — параллелограмм.

Через точку  лежащую на медиане  треугольника  проведены прямые  и  При этом точки  и  лежат на сторонах  и  соответственно. Докажите, что 

В треугольнике  на середине стороны  отмечена точка  Точка  на продолжении стороны  за точку  такова, что  Найдите меньший из отрезков, на которые прямая  делит сторону  если 

Точки  и  расположены соответственно на сторонах  и  треугольника  причём   Прямая  пересекает продолжение стороны  в точке  Найдите отношение 

На медиане  треугольника  взята точка  причём  В каком отношении прямая  делит сторону 

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Точки    лежат на сторонах    треугольника  причем  При пересечении отрезков    образуется треугольник  площадь которого равна 1. Найдите площадь треугольника