В правильной треугольной пирамиде  сторона основания  равна 6, а боковое ребро  равно 5. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём  Плоскость  содержит прямую  и параллельна 

a) Докажите, что сечение пирамиды  плоскостью  — прямоугольник.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка  а основанием — сечение пирамиды  плоскостью 

В правильной треугольной пирамиде  сторона основания  равна 6, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём  Плоскость  содержит прямую  и параллельна прямой 

a) Докажите, что плоскость  параллельна прямой 

б) Найдите угол между плоскостями  и 

Дана пирамида  в которой 

a) Докажите, что ребро  перпендикулярно ребру 

б) Найдите угол между прямой  и плоскостью 

В правильной треугольной пирамиде  точка  делит сторону  в отношении  считая от вершины  точка  делит сторону  в отношении  считая от вершины  Через точки  и  параллельно прямой  проведена плоскость 

a) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью  параллельно прямой 

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости  если известно, что  

В правильной треугольной пирамиде  сторона основания  равна 9, а боковое ребро  На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём  Плоскость  содержит прямую  и параллельна прямой 

a) Докажите, что плоскость  делит ребро  в отношении  считая от вершины 

б) Найдите расстояние между прямыми  и 

В кубе  рёбра равны 1. На продолжении отрезка  за точку  отмечена точка  так, что  а на продолжении отрезка  за точку  отмечена точка  так, что 

a) Докажите, что 

б) Найдите расстояние между прямыми  и 

В правильном тетраэдре  точки  и  — середины рёбер  и  соответственно. Плоскость  содержит прямую  и параллельна прямой .

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью  — квадрат.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра  плоскостью , если .

В конусе с вершиной  и центром основания  радиус основания равен 13, а высота равна  Точки  и  — концы образуюших,  — середина   — точка в плоскости основания такая, что прямая  параллельна прямой 

a) Докажите что  — прямой угол.

6) Найдите угол между  и плоскостью основания, если 

В правильной треугольной пирамиде  точка  делит сторону  в отношении  считая от вершины  Точка  делит сторону  в отношении  считая от вершины  Через точки  и  параллельно ребру  проведена плоскость 

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью  является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости  если известно, что  

Дана пирамида  в которой  

а) Докажите, что ребро  перпендикулярно ребру 

б) Найдите расстояние между ребрами  и 

Дана правильная треугольная призма  в которой  и  Точки  и  являются центрами окружностей, описанных около треугольников  и  соответственно. На ребре  отмечена точка  такая, что 

a) Докажите, что прямая  содержит точку пересечения медиан треугольника 

б) Найдите объем пирамиды 

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 8, а боковое ребро  равно 7. На ребре  отмечена точка  причем 

а) Точки  и  — центры окружностей, описанных около треугольников  и  соответственно. Докажите, что прямая  содержит точку пересечения медиан треугольника 

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости 

В правильной шестиугольной пирамиде  боковое ребро  а сторона  Точка  — середина стороны  Плоскость  проходит через точки  и  и перпендикулярна плоскости  Прямая  пересекает плоскость  в точке 

a) Докажите, что 

б) Найдите объем пирамиды 

Дана правильная треугольная пирамида  в которой  точка  лежит на ребре  так, что  Точка  делит сторону  так, что  Ребро  Точки  и  принадлежат плоскости  которая перпендикулярна плоскости 

а) Докажите, что точка  принадлежит плоскости 

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью 

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  а боковое ребро  На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём 

a) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости 

б) Найдите объём пирамиды 

Дана правильная треугольная призма  в которой сторона основания  боковое ребро  Пусть  — точка пересечения диагоналей грани  точки  и  — середины ребер   и  соответственно.

a) Докажите, что точки  и  лежат в одной плоскости.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 4, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём  Плоскость  содержит прямую  и параллельна прямой 

а) Докажите, что плоскость  параллельна прямой 

б) Найдите угол между плоскостями  и 

Дана правильная треугольная пирамида   — середина   — середина 

а) Докажите, что проекции отрезков  и  на плоскость  равны.

б) Найдите объем пирамиды  если  

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания  а боковое ребро  Точка  лежит на ребре  причем  точка  лежит на ребре  причем 

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите объем пирамиды 

В основании правильной треугольной призмы  лежит треугольник  На прямой  отмечена точка  так, что  — середина  На прямой  отмечена точка  так, что  — середина 

а) Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми  и  если  а