Точка  лежит на высоте  а точка  — на боковом ребре  правильной четырёхугольной пирамиды  причём 

а) Докажите, что плоскость  пересекает ребро  в его середине.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью  если  

Дана правильная треугольная пирамида   высота  проведённая к основанию, равна 14, точка  — середина  точка  — середина  Плоскость, проходящая через точку  и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра  и  в точках  и  соответственно.

a) Докажите, что  проходит через середину отрезка 

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью 

В правильной четырехугольной пирамиде  проведена высота  Точка  — середина ребра  точка  — середина ребра  Плоскость  пересекает ребро  в точке 

a) Докажите, что прямая  делит отрезок  пополам.

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости  если  

В основании треугольной пирамиды  лежит прямоугольный треугольник  с прямым углом  Основанием высоты  этой пирамиды является середина ребра 

а) Докажите, что 

б) Найдите угол между плоскостями  и  если   

В основании пирамиды  лежит трапеция  с большим основанием  Диагонали трапеции пересекаются в точке  Точки  и  — середины боковых сторон  и  соответственно. Плоскость  проходит через точки  и  параллельно прямой 

а) Докажите, что сечение пирамиды  плоскостью  является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды  плоскостью  если    а прямая  перпендикулярна прямой 

Дана треугольная призма  Точка  — середина ребра  Плоскость  проходит через ребро  и перпендикулярна прямой 

а) Докажите, что одна из диагоналей грани  равна одной из ее сторон.

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости  если  делит ребро  в отношении  считая от точки   и 

Дан правильный треугольник  и точка  не лежащая в плоскости треугольника и взятая таким образом, что 

а) Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми  и  если 

На окружности основания конуса с вершиной  отмечены точки   и  так, что  — диаметр основания. Угол между образующей и плоскостью основания равен 

a) Докажите, что 

б) Найдите объем тетраэдра  если  и 

Дана треугольная пирамида  Основание высоты  этой пирамиды является серединой отрезка  — высоты треугольника 

а) Докажите, что 

б) Найдите объём пирамиды  если    

Дана четырехугольная пирамида  Четырехугольник  — трапеция с большим основанием  отрезок  — ее средняя линия. Диагонали трапеции пересекаются в точке  Отрезок  содержится в плоскости  параллельной 

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью  — трапеция.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью  если    а 

Точка  — середина ребра  правильной четырехугольной пирамиды  с основанием  Точка  принадлежит ребру  причем 

a) Докажите, что плоскость  параллельна прямой 

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью  если все ребра пирамиды равны 6.

Дана четырехугольная пирамида  в основании которой лежит трапеция  Известны ее основания   На ребре  отмечена точка  такая, что  на ребре  отмечена точка  такая, что  плоскость  пересекает ребро  в точке 

а) Докажите, что 

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость  делит пирамиду.

B прямоугольном параллелепипеде  на диагонали  отмечена точка  так, что  Точка  — середина отрезка 

a) Докажите, что прямая  проходит через точку 

б) Найдите объём параллелепипеда  если длина отрезка  равна расстоянию между прямыми  и  и равна 

Точка  — середина бокового ребра  правильной четырёхугольной пирамиды  точка  лежит на стороне  основания  Плоскость  проходит через точки  и  параллельно боковому ребру 

а) Плоскость  пересекает ребро  в точке  Докажите, что 

б) Пусть  Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость  разбивает пирамиду 

В кубе  точки  и  — середины рёбер  и  соответственно.

a) Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.

б) Плоскость  проходит через точки  и  параллельно прямой  Найдите расстояние от точки  до плоскости  если 

Дана пирамида  в основании которой лежит квадрат  Сечение пирамиды — четырехугольник  причем точки     лежат на ребрах    и  соответственно. Известно, что  и  — середины ребер  и  а 

а) Докажите, что  — трапеция и основания трапеции относятся как 

б) Известно, что угол между плоскостью трапеции  и плоскостью основания  равен  Найдите высоту пирамиды  если площадь квадрата  равна 32, а площадь четырехугольника  равна 

Дана пирамида  в основании которой лежит квадрат  Сечение пирамиды — четырехугольник  причем точки     лежат на ребрах    и  соответственно. Известно, что  и  — середины ребер  и  а 

а) Докажите, что  — трапеция и основания трапеции относятся как 

б) Известно, что угол между плоскостью трапеции  и плоскостью основания  равен  Найдите высоту пирамиды  если площадь квадрата  равна 32, а площадь четырехугольника  равна 

Дана пирамида  в основании которой лежит квадрат  Сечение пирамиды — четырехугольник  причем точки     лежат на ребрах    и  соответственно. Известно, что  и  — середины ребер  и  а 

а) Докажите, что  — трапеция и основания трапеции относятся как 

б) Известно, что угол между плоскостью трапеции  и плоскостью основания  равен  Найдите высоту пирамиды  если площадь квадрата  равна 32, а площадь четырехугольника  равна 

Дан тетраэдр  причем  а грани  и  перпендикулярны. На ребрах   и  отмечены точки   и  соответственно так, что   

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна ребру 

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость  пересекает грань 

Дан тетраэдр  причем  а грани  и  перпендикулярны. На ребрах   и  отмечены точки   и  соответственно так, что 

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна ребру 

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость  пересекает грань