Объем правильной четырехугольной пирамиды  равен 12. Точка  — середина ребра  Найдите объем треугольной пирамиды 

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а высота равна 

Найдите объем правильного тетраэдра, если одна из его апофем равна .
 

В прямоугольной пирамиде  известно, что  — высота пирамиды,  — прямоугольная трапеция с прямыми углами  и  Найдите объем пирамиды, если    а 

Объем правильной треугольной пирамиды равен . Найдите объем пирамиды, боковые ребра которой являются апофемами исходной пирамиды.

Объем треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю линию ее основания проведена плоскость. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

В основании пирамиды  лежит равнобедренная трапеция ,  – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок . Апофема грани  равна  и образует угол  с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна .

 – пирамида, , , проекция точки  на плоскость  – середина . Длина отрезка, соединяющего точку  и середину , равна , площадь полной поверхности пирамиды равна . Найдите .

 – пирамида,  – прямоугольник со сторонами  и . Из точки  опущен перпендикуляр  на плоскость , причём точка  попала на  так, что . Пусть  – площадь поверхности пирамиды . Найдите .

 – пирамида,  – параллелограмм со сторонами  и , . Из точки  опущен перпендикуляр  на плоскость , причём точка  – точка пересечения диагоналей , . Найдите объем пирамиды.

В основании пирамиды  лежит равнобедренная трапеция с основаниями  и .  – точка пересечения диагоналей трапеции, а  – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, , , . Найдите объем пирамиды.

Высота  треугольной пирамиды  падает на середину стороны ,  – правильный треугольник со стороной . Найдите объем пирамиды, если .

В пирамиде  высота  падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник  равнобедренный, боковые стороны равны , а основание . Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром  и плоскостью основания равен .

Дана пирамида , вершиной которой является точка , в основании лежит ромб, а высота  пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол  равен углу , а диагонали основания равны  и .

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

В основании пирамиды  лежит прямоугольный треугольник с прямым углом . Точка  – центр описанной вокруг треугольника  окружности,  – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что , , .

Плоскости  и  пересекаются по прямой , на которой лежат точки  и . Отрезки  и  перпендикулярны прямой  и лежат в плоскостях  и  соответственно, причем , , , . Найдите , где  – угол между плоскостями  и .

Даны прямые , пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен . Найдите , где  – угол между плоскостью, образованной прямыми  и , и плоскостью, образованной прямыми  и . Ответ дайте в градусах.

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите , где  – угол между ее смежными боковыми гранями.

В квадрате   — точка пересечения диагоналей;  — не лежит в плоскости квадрата,  Найдите угол между плоскостями  и  если  а